Einführung
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Es wird die Dynamik eines sphärischen Magnetpendels betrachtet. Das Modell
hierzu besteht aus folgenden Teilen:

* Ein masseloser Faden der Länge :math:`L` ist im Koordinatenursprung 
  befestigt. Daran hängt ein
  punktförmiger, ferromagnetischer Pendelkörper der Masse :math:`m`. Der Ort
  des Pendels ist durch :math:`\vec{r}` gegeben.
* Auf die Pendelmasse wirkt die Schwerkraft:
  :math:`V_\mathrm{P} = -m \vec{g} \vec{r}` mit :math:`\vec{g} = (0, 0, -g)`
* An Orten :math:`\vec{r}_i` sind :math:`N` Magnete befestigt. Das Potential der Magnete
  ist gegeben durch
  :math:`V_\mathrm{M} = -\sum_{i=1}^{N} \frac{\alpha_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^X}`,
  :math:`X` ist hierbei der Potentialexponent und :math:`\alpha_i` die Stärke
  des Magneten.

Die Bewegungsgleichungen werden mittels des Lagrange-Formulismus aufgestellt. Dabei
werden Kugelkoordinaten verwendet. Die Reibung wird separat betrachtet und zu
den gewonnenen Gleichungen addiert:
:math:`F_{F,\theta} = -m \gamma L \dot{\theta}` und
:math:`F_{F,\phi} = -m \gamma L \sin \theta \dot{\phi}`.

Um die Bewegungsgleichungen einheitenlos zu machen, werden folgende
charakteristischen Größen definiert:

* Zeit: :math:`\tau = \sqrt{\frac{L}{g}}`
* Magnetstärke: :math:`\alpha_0 = m g L^{X+1}`
* Reibung: :math:`\gamma_0 = \frac{1}{\tau}`

Mit :math:`t \rightarrow \tilde{t} = \frac{t}{\tau}`,
:math:`\alpha_i \rightarrow \tilde{\alpha}_i = \frac{\alpha_i}{\alpha_0}`,
:math:`\gamma \rightarrow \tilde{\gamma} = \frac{\gamma}{\gamma_0}` erhält man
einheitenlose Bewegungsgleichungen:

:math:`\ddot\theta = \sin\theta 
-\tilde{\gamma} \dot{\theta}
+ \cos\theta \sin\theta\dot{\phi}^2
- \sum _{n=1}^N X \tilde{\alpha}_n \frac{\cos\theta \cos\phi\left(\cos\phi \sin\theta -\tilde{x}_n\right) + \cos\theta \sin\phi\left(\sin\theta \sin\phi-\tilde{y}_n\right) - \sin\theta\left(\cos\theta-\tilde{z}_n\right)}{\left(\left(\cos\phi\sin\theta-\tilde{x}_n\right)^2+\left(\sin\theta \sin\phi-\tilde{y}_n\right)^2 + \left(\cos\theta -\tilde{z}_n\right)^2\right)^{1+\frac{X}{2}}}`

:math:`\ddot{\phi} =  
-\tilde{\gamma } \sin\theta  \dot{\phi} 
-2 \dot{\theta} \dot{\phi} \cot\theta 
+\csc^2 \theta \sum _{n=1}^N X \tilde{\alpha }_n 
\frac{\sin\theta \sin\phi \left(\cos\phi
\sin\theta-\tilde{x}_n\right)-\cos\phi  \sin\theta \left(\sin\theta
\sin\phi-\tilde{y}_n\right)}
{\left(\left(\cos\phi \sin\theta-\tilde{x}_n\right)^2+\left(\sin\theta
\sin\phi-\tilde{y}_n\right)^2+\left(\cos\theta-\tilde{z}_n\right)^2\right)^{1+\frac{X}{2}}}`

Die Herleitung der Gleichungen findet sich auch im Mathematica-Notebook
`MagneticPendulum.nb`.